ヤング図形 - 備忘録

しばらくヤング図形について考えている．

リー群の既約テンソルのテンソル積を考えて，既約表現に分解する際にヤング図形を使うのが非常に便利となっている．
例えば，添え字が1つのテンソル同士のテンソル積は， $u_iv_j = (u_iv_j+u_jv_i)/2 + (u_iv_j-u_jv_i)/2$ と対称テンソルと反対称テンソルに分解される．
この時，リー群の元が作用しても，対称テンソルは対称テンソルのまま，反対称テンソルは反対称テンソルのまま．
このように，添え字について対称群の表現になるように分解すれば，個々の表現に分解できることになる．既約表現を得るには不変テンソルを用いて，トレース部分とトレース0の部分に分解すればよい．

で，この対称群の既約表現分解にはヤング図を用いればよいようなのだが，georgiを読んでもよくわからない．

対称群 $S_n$ の元 $g$ が基底となっている線形ベクトル空間を考える．これはいわゆるregular representation．次元は $n!$ となっている．
regular representationの既約表現の基底(先の例なら $1+\sigma_{ij}$ とか． $\sigma_{ij}$ はiとjを入れ替える．)がテンソルに作用したものを考えると，
作用したあとのテンソルは添え字が対称群の既約表現になっていることが分かる．

つまり，regular representionの既約表現分解に，ヤング図形に対応する表現がどのように含まれているかに興味がでてくる．
regular representationには，既約表現はその表現の次元と同じ個数が含まれていることが，有限群の表現に関して一般に知られているので，
ヤング図形から表現の次元が計算できれば，いいんじゃないだろうか．

自分が知りたいことは，本を見ても直接書いてなかったのだが，ヤング図形から表現の次元を計算する方法は載ってる雰囲気だったので，あとは本を読みつつ考えてみよう．
少しは前進したのだろうか．