テンソルを既約表現に分解すること

ヤング図形について考える．やはり未だに理解が浅い．
添え字の対称化，反対称化は，結構本質的な内容に思えてきた．

テンソルを既約表現に分解するときには，まず，添え字が置換群の表現になるように分解する．
$A_{ij} = (A_{ij} + A_{ji})/2 + (A_{ij} - A_{ji})/2$ といった具合に．
さらに不変テンソルを用いて，トレースとトレースゼロのテンソルに分解する．
SO(3)のテンソルを例にとると， $\delta_{ij}$ を用いて，2階対称なテンソルを $T_{ij} = (T_{ij} - \delta_{ij}\delta^{kl}T_{kl}/3) + \delta{ij}\delta^{kl}T_{kl}$ /3と分解できる．

完全対称なテンソル $u_{i_1,i_2,...,i_n}$ と $v_j$ のテンソル積を既約表現に分解することを考えてみる．
$S(u_{i_1,i_2,...,i_n},v_j) = \frac{1}{n+1} $u_{i_1,i_2,...,i_n}v_j + \sum_{k=1}^n u_{...,i_{k-1},j,i_{k+1},...}v_{i_k} $$
$A(u_{i_1,i_2,...,i_n},v_j) = \frac{1}{n+1} \sum_{k=1}^n $u_{i_1,i_2,...,i_n}v_j - u_{...,i_{k-1},j,i_{k+1},...}v_{i_k} $$

$S(u_{i_1,i_2,...,i_n},v_j) + A(u_{i_1,i_2,...,i_n},v_j) = u_{i_1,i_2,...,i_n}v_j$ となっており，SとAがそれぞれ置換群の既約表現となっている．
これは，ヤング図形において，n個の横に並んだ箱と1個の箱の直積を考えると，n+1個の横に並んだ箱とN個の横に並んだ箱の下に1個箱が付け加わったものに分解されることと対応している．

これを一般化すれば， $u_{i_1,i_2,...,i_n}$ と $v_{j_1,j_2,...,j_k}$ のテンソル積を分解できるはずだ．
SやAを演算子だと思って，vの添え字を一個ずつ足していくことを考える．その際に，v由来の添え字は対称化されていると仮定すれば，不要な項は除去できるはず．
めんどくさいから計算してないけど．