一般相対論復習

共変微分は，
$\nabla_\alpha A^\mu = \partial_\alpha A^\mu + \Gamma^\mu_{\nu\alpha} A^\nu$
$\nabla_\alpha A_\nu = \partial_\alpha A_\nu - \Gamma^\mu_{\nu\alpha} A_\mu$
と定義されている．クリストッフェル記号は左側の上下二つの添え字と右下の添え字を分けて見ると，ゲージ場のように見えてくるので分かりやすい．

また，クリストッフェル記号は計量を用いて，
$\Gamma^\mu_{\nu\alpha} = \frac{ g^{\mu\lambda} }{2} (\partial_\nu g_{\lambda\alpha} + \partial_\alpha g_{\lambda\nu} - \partial_\lambda g_{\nu\alpha})$
と書くことができる．

リーマンの曲率テンソルは，
$R^\mu_{\nu\alpha\beta} = \partial_\alpha \Gamma^\mu_{\nu\beta} + \Gamma^\mu_{\lambda\alpha} \Gamma^\lambda_{\nu\beta} - (\mu \leftright \nu)$

メトリックの変分をとると，
$\Gamma^\mu_{\nu\alpha} = \frac{ g^{\mu\lambda} }{2} (\nabla_\nu \delta g_{\lambda\alpha} + \nabla_\alpha \delta g_{\lambda\nu} - \nabla_\lambda \delta g_{\nu\alpha})$
$\delta R^\mu_{\nu\alpha\beta} = \nabla_\alpha \delta \Gamma^\mu_{\nu\beta} + \delta \Gamma^\mu_{\lambda\alpha} \delta \Gamma^\lambda_{\nu\beta} - (\mu \leftright \nu)$

変分の一次の項のみを残すと，
$\delta R_{\mu\nu} = \nabla_\lambda \delta \Gamma^\lambda_{\mu\nu} - \nabla_\nu \delta \Gamma^\lambda_{\mu\lambda}$