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勉強

ZやWのレプトンへの崩壊幅を計算する．

Zとレプトンの相互作用項は，\frac{ie}{\sin\theta_w \cos\theta_w}(T_3 - Q\sin^2\theta_w) Z_\mu \bar{l} \gamma^\mu lとなる．

レプトンの4元運動量を$p_1,p_2$として，Zボゾンの運動量を$k$とおくと，スピンの平均をとった散乱振幅は，
|{\cal M}|^2 = \frac{e^2}{s^2 c^2}(T_3 - Qs^2)^2 tr\{ \frac{1}{2} p_{1\alpha} p_{2\beta} \gamma^\alpha \gamma^\mu \gamma^\beta \gamma^\nu \} \frac{1}{3}(\frac{k_\mu k_\nu}{m_Z^2} - g{\mu\nu})
= \frac{2e^2}{s^2 c^2} (T_3 - Qs^2)^2) m_Z^2
ただし，ボゾンの静止系をとった．

これを用いて，Zボゾンの崩壊幅は \Gamma = \frac{1}{2m_Z} \frac{1}{8\pi} \frac{2e^2}{s^2 c^2} (T_3 - Qs^2)^2) m_Z^2 = \frac{e^2}{24\pi s^2 c^2} (T_3 - Qs^2)^2) m_Z
また，\frac{e}{sc}(T_3 - Qs^2)を\frac{g}{\sqrt{2}}に，m_Zをm_Wにおきかえると，Wボゾンの崩壊幅も得られる．
まとめると，
\Gamma(Z\to e_L^- e_R^+) = \frac{e^2}{96\pi s^2 c^2}(2s^2 - 1)^2m_Z
\Gamma(Z\to e_L^- e_R^+) = \frac{e^2}{96\pi s^2 c^2}(2s^2)^2 m_Z
\Gamma(W^+ \to e_R^+ \nu) = \frac{g^2}{48\pi} m_W