スカラー場について復習．

勉強

実自由スカラー場を考える．
{\cal L} = \frac{1}{2}(\partial^\mu \phi)^2 - \frac{m^2}{2}\phi^2
正準運動量は\pi \equiv \frac{\partial {\cal L} }{\partial \phi} = {\dot \phi}　運動方程式は(\partial^2 + m^2)\phi = 0

運動方程式の解はe^{-iE_p t + ipx}であるから，場を\phi = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \phi_p e^{-iE_p t+ipx} + \phi_p^\dagger e^{iE_p t-ipx}と書くことができる．
正準運動量\piの定義より，\pi = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} (-iE_p) (\phi_p e^{-iE_p t+ipx} - \phi_p^\dagger e^{iE_p t-ipx} )


同時刻交換関係を[ \phi(x),\pi(y)] = i\delta^3(x-y)とおく．
フーリエ逆変換により，時刻t=0において，-2iE_p \phi_p = \int d^3x (\pi - iE_p \phi)e^{-ipx}

これを用いると，[ \phi_p, \phi^\dagger_q ] = \frac{(2\pi)^3}{2E_p} \delta^3(p-q)
[ \phi_p, \phi_q ] = [ \phi^\dagger_p, \phi^\dagger_q ] = 0


a_p \equiv \sqrt{2E_p} \phi_pと定義すると，
[ a_p, a^\dagger_q ] = (2\pi)^3 \delta^3(p-q)，[ a_p, a_q ] = [ a^\dagger_p, a^\dagger_q ] = 0
\phi = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{ \sqrt{2E_p} }( a_p e^{-iE_p t+ipx} + a_p^\dagger e^{iE_p t-ipx})


ラグランジアンより，エネルギー運動量密度は， T^{\mu\nu} = \partial^\mu \phi \partial^\nu \phi - g^{\mu\nu} (\frac{1}{2}(\partial^\mu \phi)^2 - \frac{m^2}{2}\phi^2)
これを用いて，ハミルトニアン，運動量演算子を求めると，
H = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} E_p (a_p a_p^\dagger + a_p^\dagger a_p)
P = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} p (a_p a_p^\dagger + a_p^\dagger a_p)

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勉強 peskin

19.2,p665-666のFujikawa methodをDirac spinorからWeyl spinorに焼きなおす．
Dirac spinorはWeyl spinor二つに分解できる．
{\cal D}\psi_D {\cal D}{\bar \psi}_D = {\cal D}\psi{\cal D}\chi {\cal D}{\bar \psi}{\cal D}{\bar \chi}

\psi \to \psi' = e^{i\alpha(x)}\psi と変数変換することを考える．\psiを適当なゲージ不変な演算子によって，固有値分解できたとする．規格化された固有ベクトルを\phi_nと書くと，

{\cal D}\psi = {\cal J} {\cal D}\psi'
\log {\cal J} = i\int d^4x \alpha \sum_n \phi^\dagger_n \phi_n

この積分は発散しているから，ゲージ不変な方法でregulateしてやる必要がある．テキストでは，\exp\left( \frac{(iD_\mu \gamma^\mu)^2}{M^2} \right)という演算子をはさんでいるが，今回は左巻きWeyl spinorをつかっているので，(iD_\mu \gamma^\mu)^2のかわりに， -(D\cdot \sigma)(D\cdot {\bar \sigma}) を使う．

\sigma_\mu {\bar \sigma}_\nu + \sigma_\nu {\bar \sigma}_\mu = 2\eta_{\mu\nu}
\sigma_\mu {\bar \sigma}_\nu - \sigma_\nu {\bar \sigma}_\mu = -2i\sigma_{\mu\nu}
-(D\cdot \sigma)(D\cdot {\bar \sigma}) = -D^2 + \frac{1}{2}\sigma^{\mu\nu}F_{\mu\nu}^a T_a
{\rm tr}\{ \sigma^{\mu\nu} \sigma^{\lambda\sigma} \} = -2i\epsilon^{\mu\nu\lambda\sigma} + 2\eta^{\mu\lambda} \eta^{\nu\sigma} - 2\eta^{\mu\sigma} \eta^{\nu\lambda}

途中省略すると，
\log{\cal J} = \frac{-1}{128\pi^2} \int d^4x \alpha(x) {\rm tr} \{ (\sigma^{\mu\nu} F_{\mu\nu}^a T_a)^2 \}



同様にして，
{\cal D}{\bar \psi} = {\bar {\cal J}} {\cal D}{\bar \psi}'

{\bar \sigma}_\mu \sigma_\nu + {\bar \sigma}_\nu \sigma_\mu = 2\eta_{\mu\nu}
{\bar \sigma}_\mu \sigma_\nu - {\bar \sigma}_\nu \sigma_\mu = -2i{\bar \sigma}_{\mu\nu}
-(D\cdot {\bar \sigma})(D\cdot \sigma) = -D^2 + \frac{1}{2}{\bar \sigma}^{\mu\nu}F_{\mu\nu}^a T_a
{\rm tr}\{ {\bar \sigma}^{\mu\nu} {\bar \sigma}^{\lambda\sigma} \} = 2i\epsilon^{\mu\nu\lambda\sigma} + 2\eta^{\mu\lambda} \eta^{\nu\sigma} - 2\eta^{\mu\sigma} \eta^{\nu\lambda}

途中省略すると，
\log{\bar {\cal J}} = \frac{1}{128\pi^2} \int d^4x \alpha(x) {\rm tr} \{ ({\bar \sigma}^{\mu\nu} F_{\mu\nu}^a T_a)^2 \}



\log{\cal J} + \log{\bar {\cal J}} = \frac{-1}{128\pi^2} \int d^4x \alpha(x) {\rm tr} \{ \sigma^{\mu\nu} \sigma^{\lambda\sigma} - {\bar \sigma}^{\mu\nu} {\bar \sigma}^{\lambda\sigma} \} {\rm tr}\{T^a T^b\} F_{\mu\nu}^a F_{\lambda\sigma}^b
\log{\cal J} + \log{\bar {\cal J}} = i \int d^4x \alpha(x) \cdot \frac{1}{32\pi^2} e^{\mu\nu\lambda\sigma} {\rm tr}\{T^a T^b\} F_{\mu\nu}^a F_{\lambda\sigma}^b


結局，アノマリーは，
\partial_\mu ({\bar \psi}_L {\bar \sigma}^\mu \psi_L ) = \frac{1}{32\pi^2} e^{\mu\nu\lambda\sigma} {\rm tr}\{T^a T^b\} F_{\mu\nu}^a F_{\lambda\sigma}^b
と求まった．

行かないで

テレビ

やりすぎコージーが月9に進出だとか．また一つ深夜番組が消える．
もうほんとにやめて欲しい．深夜からゴールデンに出て面白くなった番組って一つでもあるんだろうか？
天王洲猥談とかもうやる気はないんですね．ああ，そうですか．




どうでもいいけど，最近やってるデミオのCM見ると妙に悲しくなる．
戸田恵梨香がみるも無残．

低エネルギーでの電磁場との相互作用

勉強 peskin

peskinの6.2のように，電磁場との相互作用を外場で導入する．
この時，核子と電磁場との相互作用のvertexは，{\bar u(p')} \Gamma^\mu u(p)と書かれる．
ここで，対称性から\Gamma^\mu = A \gamma^\mu + B (p+p')^\mu + C (p-p')^\mu + D \gamma^\mu \gamma^5+ E (p+p')^\mu \gamma^5 + F (p-p')^\mu \gamma^5と書くことが出来る．
（ここで，P,CP(=T)対称性を要求しないという点でテキストの拡張になっている）

Ward identityより，(p-p')_\mu \Gamma^\mu = 0であるから，これを満たすために，
\Gamma^\mu = A \gamma^\mu + B (p+p')^\mu + E (p+p')^\mu \gamma^5

ガンマ行列の性質を用いて変換していくと，
\Gamma^\mu = F_1(q^2) \gamma^\mu + F_2(q^2) \frac{i\sigma^{\mu\nu}q_\nu}{2m} + F_3(q^2) \frac{i\sigma^{\mu\nu}q_\nu}{2m} \gamma^5ととりなおせる．ただし，q_\mu = (p'-p)_\mu，\sigma^{\mu\nu} = \frac{i}{2}(\gamma^\mu \gamma^\nu - \gamma^\nu \gamma^\mu)

このとき，散乱振幅は，ベクトルポテンシャルのフーリエ変換{\tilde A}^\muを用いて，
i{\cal M} = i{\bar u(p')} \left( F_1(q^2) \gamma^\mu + F_2(q^2) \frac{i\sigma^{\mu\nu}q_\nu}{2m} + F_3(q^2) \frac{i\sigma^{\mu\nu}q_\nu}{2m} \gamma^5 \right) u(p) {\tilde A}^\mu
テキストと違うのは，電荷を持つことを前提にしていない点．だから，$F_1,F_2$の定義は若干異なる．

低エネルギー近似を行うと，
u(p) = \sqrt{m} \left( \begin{array}{c} (1-p \cdot \sigma /2m)\xi \\ (1+p \cdot \sigma /2m)\xi \\ \end{array} \right)


静電場との相互作用を考える．ベクトルポテンシャルの中で，{\tilde A}^0のみがノンゼロだとしてよい．
{\cal M} = {\bar u(p')} \left( F_1(q^2) \gamma^0 + F_2(q^2) \frac{i\sigma^{0i}q_i}{2m} + F_3(q^2) \frac{i\sigma^{0i}q_i}{2m} \gamma^5 \right) u(p) {\tilde A}^0
{\cal M} = {\bar u(p')} \left( F_1(q^2) \gamma^0 + F_3(q^2) \frac{i\sigma^{0i}q_i}{2m} \gamma^5 \right) u(p) {\tilde A}^0
{\cal M} = 2F_1(q^2) {\tilde A}^0 + \frac{iq^i}{m} \xi^\dagger \sigma^i \xi {\tilde A}^0

1項目は静電ポテンシャルをあらわす．2項目は電気双極子と静電場の相互作用を表してる．
導出をみれば分かるように，CPが破れたりすると電気双極子が生まれうる．
と，いうことで，強いCP問題→中性子に電気双極子？ということになっとるのだろうな．

磁場との相互作用はテキストのとおり．





追記：

粒子が電気双極子モーメントをもつ事がパリティを破ることの簡単な説明．

双極子モーメントはスピンに比例すると仮定する．（粒子からベクトル的な情報を引き出すにはスピンしかないような気がする．）
仮定より，双極子モーメントは擬ベクトル．電場はベクトルであるから，電気双極子モーメントを持つとパリティを破ることが分かる．
磁場は擬ベクトルであるから，磁気双極子モーメントを持ってもパリティは破らないことも分かる．

演算子の作用

SUSY

wess-baggerの(3.3)で定義された\timesは，(\xi Q + {\bar \xi} {\bar Q})\times A = [ (\xi Q + {\bar \xi} {\bar Q}),A]で定義されると思うべきである．
変換の生成子の演算子に対する作用は，交換関係で定義されるからだ．回転しかり．平行移動しかり．

だが，(4.11)は，e^{\xi Q + {\bar \xi} {\bar Q}} \times A = e^{\xi Q + {\bar \xi} {\bar Q}} A e^{-(\xi Q + {\bar \xi} {\bar Q})} と解釈すべきであると考える．
演算子の変換は一般にUAU^{-1}と書かれるからだ．このような定義を採用すれば，e^{\xi Q + {\bar \xi} {\bar Q}} \times A = A + \delta_\xi A + \frac{1}{2} \delta_\xi \delta_\xi A + \frac{1}{6} \delta_\xi \delta_\xi \delta_\xi A + \cdotsが導かれる．

このように，生成子の作用は交換関係，指数関数の肩に乗せたものの作用は自分自身とインバースではさむものと解釈すれば，(4.13)の変形がしっくりくる．wess-baggerの書き方は正直かなり不親切だ．



wess-baggerでは計算メソッドしか得られないが，SUSY primerを読むと物理に触れられている気がする．
階層性問題がいまいちまだ理解できていない．higgsのmassはくりこみの相殺項でセッティングしたくないということなのだろうか．