■

勉強 peskin

19.2,p665-666のFujikawa methodをDirac spinorからWeyl spinorに焼きなおす．
Dirac spinorはWeyl spinor二つに分解できる．
{\cal D}\psi_D {\cal D}{\bar \psi}_D = {\cal D}\psi{\cal D}\chi {\cal D}{\bar \psi}{\cal D}{\bar \chi}

\psi \to \psi' = e^{i\alpha(x)}\psi と変数変換することを考える．\psiを適当なゲージ不変な演算子によって，固有値分解できたとする．規格化された固有ベクトルを\phi_nと書くと，

{\cal D}\psi = {\cal J} {\cal D}\psi'
\log {\cal J} = i\int d^4x \alpha \sum_n \phi^\dagger_n \phi_n

この積分は発散しているから，ゲージ不変な方法でregulateしてやる必要がある．テキストでは，\exp\left( \frac{(iD_\mu \gamma^\mu)^2}{M^2} \right)という演算子をはさんでいるが，今回は左巻きWeyl spinorをつかっているので，(iD_\mu \gamma^\mu)^2のかわりに， -(D\cdot \sigma)(D\cdot {\bar \sigma}) を使う．

\sigma_\mu {\bar \sigma}_\nu + \sigma_\nu {\bar \sigma}_\mu = 2\eta_{\mu\nu}
\sigma_\mu {\bar \sigma}_\nu - \sigma_\nu {\bar \sigma}_\mu = -2i\sigma_{\mu\nu}
-(D\cdot \sigma)(D\cdot {\bar \sigma}) = -D^2 + \frac{1}{2}\sigma^{\mu\nu}F_{\mu\nu}^a T_a
{\rm tr}\{ \sigma^{\mu\nu} \sigma^{\lambda\sigma} \} = -2i\epsilon^{\mu\nu\lambda\sigma} + 2\eta^{\mu\lambda} \eta^{\nu\sigma} - 2\eta^{\mu\sigma} \eta^{\nu\lambda}

途中省略すると，
\log{\cal J} = \frac{-1}{128\pi^2} \int d^4x \alpha(x) {\rm tr} \{ (\sigma^{\mu\nu} F_{\mu\nu}^a T_a)^2 \}



同様にして，
{\cal D}{\bar \psi} = {\bar {\cal J}} {\cal D}{\bar \psi}'

{\bar \sigma}_\mu \sigma_\nu + {\bar \sigma}_\nu \sigma_\mu = 2\eta_{\mu\nu}
{\bar \sigma}_\mu \sigma_\nu - {\bar \sigma}_\nu \sigma_\mu = -2i{\bar \sigma}_{\mu\nu}
-(D\cdot {\bar \sigma})(D\cdot \sigma) = -D^2 + \frac{1}{2}{\bar \sigma}^{\mu\nu}F_{\mu\nu}^a T_a
{\rm tr}\{ {\bar \sigma}^{\mu\nu} {\bar \sigma}^{\lambda\sigma} \} = 2i\epsilon^{\mu\nu\lambda\sigma} + 2\eta^{\mu\lambda} \eta^{\nu\sigma} - 2\eta^{\mu\sigma} \eta^{\nu\lambda}

途中省略すると，
\log{\bar {\cal J}} = \frac{1}{128\pi^2} \int d^4x \alpha(x) {\rm tr} \{ ({\bar \sigma}^{\mu\nu} F_{\mu\nu}^a T_a)^2 \}



\log{\cal J} + \log{\bar {\cal J}} = \frac{-1}{128\pi^2} \int d^4x \alpha(x) {\rm tr} \{ \sigma^{\mu\nu} \sigma^{\lambda\sigma} - {\bar \sigma}^{\mu\nu} {\bar \sigma}^{\lambda\sigma} \} {\rm tr}\{T^a T^b\} F_{\mu\nu}^a F_{\lambda\sigma}^b
\log{\cal J} + \log{\bar {\cal J}} = i \int d^4x \alpha(x) \cdot \frac{1}{32\pi^2} e^{\mu\nu\lambda\sigma} {\rm tr}\{T^a T^b\} F_{\mu\nu}^a F_{\lambda\sigma}^b


結局，アノマリーは，
\partial_\mu ({\bar \psi}_L {\bar \sigma}^\mu \psi_L ) = \frac{1}{32\pi^2} e^{\mu\nu\lambda\sigma} {\rm tr}\{T^a T^b\} F_{\mu\nu}^a F_{\lambda\sigma}^b
と求まった．