くりこみ - 備忘録

4次元時空でくりこみ可能な相互作用は，ゲージ相互作用，湯川相互作用，スカラー相互作用に限られる．真の理論がどのようなものであっても低エネルギーではこれらしか見えない．
高エネルギーでは我々の良く知る保存則が破れる可能性がある．

極分解定理の証明をメモしておく．
任意の正則行列 $A$ について， $A^\dagger A$ はエルミート行列になる．
つまり， $A^\dagger A$ は対角化できて， $U^\dagger A^\dagger A U = \Lambda$
任意のベクトル $|\mu \rangle$ について， $\langle \mu|A^\dagger A|\mu\rangle>0$ であるから， $\Lambda$ は対角成分が全て正の対角行列であることがわかる．
よって， $(\Lambda^{-1/2})^2=\Lambda$ となるような，対角成分が全て正の対角行列 $\Lambda^{-1/2}$ を定義できる．
これを用いると， $\Lambda^{-1/2} U^\dagger A^\dagger A U \Lambda^{-1/2} = I$
すなわち， $A U \Lambda^{-1/2} = U'$ だから，
$A = U'\Lambda^{1/2} U^\dagger$
これより，任意の正則行列はユニタリ行列Vとエルミート行列Hを用いて，A=VHと一意的に分解できる．