拘束のある力学系・メモ

ラグランジアン $L(q,\dot{q})$ が与えられれば，最小作用の原理（オイラー・ラグランジュ方程式）から $q$ の発展が導かれる．
ルジャンドル変換によりハミルトニアンに移行する． $p \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot{q} }$ ， $H = p\dot{q} - L$ ．
この時， $det \frac{\partial^2 L}{\partial\dot{q}_i \partial\dot{q}_j} =0$ になると， $\dot{q}$ を $p$ に関して解けなくなる．
これは拘束条件 $\phi_i=0$ があるということ．

$q,p$ を微小に変化させると， $\delta H = \dot{q} \delta p - \frac{\partial L}{\partial q} \delta q$ となり， $q,p$ で陽に書けていなくとも， $\\delta dot{q}$ に依らないことがみてとれる．
$H(q,p)$ について， $\delta H = \frac{\partial H}{\partial q}\delta q + \frac{\partial H}{\partial p}\delta p$ だから，
$0 = ( \frac{\partial H}{\partial q} + \dot{p} ) \delta q + ( \frac{\partial H}{\partial p} -\dot{q} )\delta p$ である．オイラー・ラグランジュ方程式を用いた．
このとき，変分は自由ではなく拘束条件をみたすもの，すなわち $\frac{\partial \phi_i}{\partial q}\delta q + \frac{\partial \phi_i}{\partial p}\delta p = 0$ であるから，
$\frac{\partial H}{\partial q} + \dot{p} + \lambda_i \frac{\partial \phi_i}{\partial q} = 0$ ， $\frac{\partial H}{\partial p} - \dot{q} + \lambda_i \frac{\partial \phi_i}{\partial p} = 0$ ．
つまり，ポアソン括弧を用いれば， $\dot{F} = \{ F,H \}_P + \lambda_i \{ F,\phi_i \}_P$ であることが分かる． $F$ は $q,p$ の任意の関数．

$\lambda_i$ はどうすれば決まるか． $\phi$ の0から時間発展しても0にとどまらねばならない．
$\{ \phi_i,H \}_P + \{ \phi_i,\phi_j \}_P \lambda_j$ が $\phi=0$ の条件下で0にならねばならない． $\{ \phi_i,H \}_P$ から新しい拘束条件が出なくなるまで拘束条件をとりつくす．
$\{ \phi_i,\phi_j \}_P$ を変形して，行列が正則な部分と0になる部分を分ける．
正則な部分は第2類の拘束条件と呼ばれ， $\lambda$ をあらわに書ける．
0になる部分は第1類の拘束条件であり，ゲージを固定しなければいけない．