weinberg-salam - 備忘録

SU(2) $\times$ U(1)ゲージ理論の共変微分は，
$D_\mu \equiv \partial_\mu - igW_\mu^a T^a - ig'B_\mu Y$ と書かれる．
Higgs2重項(Y=1/2)の真空期待値を $\frac{1}{ \sqrt{2} } \left(\begin{array}{c}0 \\ v \\ \end{array}\right)$ と書くと，
ゲージボゾンの質量項はHiggsの運動項から生まれる．その部分を抽出すると，
$\frac{1}{2} \left(\begin{array}{cc}0&v \\ \end{array}\right) (\frac{g}{2}W_\mu^a \sigma^a + \frac{g'}{2} B_\mu)^2 \left(\begin{array}{c}0 \\ v \\ \end{array}\right)$
$= \frac{1}{8} \left(\begin{array}{cc}0&v \\ \end{array}\right) (g^2 W_\mu^a W^{a\mu} + 2gg'W_\mu^a B^\mu \sigma^a + g'^2 B_\mu B^\mu) \left(\begin{array}{c}0 \\ v \\ \end{array}\right)$
$= \frac{v^2}{8}(g^2 W_\mu^a W^{a\mu} - 2gg'W_\mu^3 B^\mu + g'^2 B_\mu B^\mu)$
$= \frac{1}{2} \frac{g^2v^2}{4} ((W^1)^2 + (W^2)^2 ) + \frac{1}{2} \frac{(g^2+g'^2)v^2}{4}( \frac{ gW^3 - g'B }{ \sqrt{g^2+g'^2} } )^2$

場を再定義しよう．
$\cos\theta_w \equiv \frac{g}{\sqrt{g^2+g'^2} }$ ， $\sin\theta_w \equiv \frac{g'}{\sqrt{g^2+g'^2} }$ ととり，
$\left(\begin{array}{c} Z \\ A \\ \end{array}\right) \equiv \left(\begin{array}{cc} \cos && -\sin \\ \sin && \cos \end{array} \right) \left(\begin{array}{c} W^3 \\ B \\ \end{array}\right)$ を定義する．逆に解くと， $\left(\begin{array}{c} W^3 \\ B \\ \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} \cos && \sin \\ -\sin && \cos \end{array} \right) \left(\begin{array}{c} Z \\ A \\ \end{array}\right)$

質量を $m_W^2 \equiv \frac{g^2v^2}{4}, m_Z^2 \equiv \frac{(g^2+g'^2)v^2}{4}$ で定義できる．質量項は， $\frac{m_W^2}{2}((W^1)^2+(W^2)^2) + \frac{m_Z^2}{2}Z^2$ と書けるようになる．

共変微分は， $\partial_\mu - igW_\mu^a T^a - ig'B_\mu$
$= \partial_\mu - ig(W_\mu^1 T_1 + W_\mu^2 T_2) - ig (Z\cos + A\sin)T_3 -ig'(-Z\sin + A\cos)Y$
$= \partial_\mu - ig(W_\mu^1 T_1 + W_\mu^2 T_2) - i (gT_3\cos - g'Y\sin)Z_\mu - i(gT_3\sin + g'Y \cos)A_\mu$

$e\equiv g\sin\theta_W = g'\cos\theta_W$ と定義すると， $A_\mu$ との結合定数は， $e(T_3+Y)$ となる．これはいわゆる電磁気学の電荷．

$gT_3\cos - g'Y\sin = \frac{e}{\sin}T_3\cos - \frac{e}{\cos} Y \sin = \frac{e}{\sin\cos}(T_3 - Q\sin^2)$ これがZボゾンとの結合定数となる．