BRST対称性

勉強

ローレンツ共変なゲージでゲージ理論を量子化しようとすると負ノルムの状態があらわれてしまって困る．
このような状態があらわれてしまうと，遷移振幅を遷移確率と解釈することができなくなってしまう．
ということで，このような非物理的状態はあらわれないことをいいたい．


まず，ハミルトニアンがエルミートであるとする．H=H^\dagger
さらに，BRST対称性，すなわちベキゼロの保存量があることを要求する．QH-HQ=0,Q^2=0


ハミルトニアンがエルミートであることから，S行列はユニタリであることが分かる．SS^\dagger=S^\dagger S =1
始状態や終状態は，保存量Qの線形表現であることが知られている．Qは冪ゼロなので，既約表現は1重項と2重項のみである．
1重項はQ|\phi \rangle=0をみたし，Q|\chi\rangleとは書けないものである．
2重項は|\phi_1\rangle,|\phi_2\rangleで張られる．ただし，Q|\phi_1\rangle = |\phi_2\rangle．この時，\langle \phi_2 |\phi_2 \rangle = 0であることがすぐ分かる．内積を持つ状態が少なくともひとつはあるはずなので，\langle \chi_1 |\phi_2\rangle =1とする．
このとき，|\chi_2 \rangle \equiv Q|\chi_1 \rangle \neq 0を定義できて，\langle \chi_2 | \phi_1 \rangle = 1であることがわかる．
このようにして，2重項は必ずペアを作っていることがわかる．これはBRST4重項と呼ばれる．




全状態空間Vに対し，物理的状態空間をV_{{\rm phys}} \equiv {\rm Ker}Qで定義する．
このとき，QS-SQであることから，S V_{{\rm phys}} = S^\dagger V_{{\rm phys}} = V_{{\rm phys}}が分かり，V_{{\rm phys}}は遷移で不変である．
Sの作用によりV_{{\rm phys}}から状態がはみ出ないので，V_{{\rm phys}}上にSの作用を限った演算子{\tilde S}_{{\rm phys}}を定義できる．
このとき，Sのユニタリ性より，{\tilde S}_{{\rm phys}}もユニタリ．


V_{{\rm phys}}には，BRST1重項に属する状態と4重項に属する状態がある．
BRST1重項は物理的なものに対応するので，ノルムの正定値性を仮定する．
この時，4重項の状態はノルムが0の状態でしか現れないことがBRST不変性より示される．
つまり，V_{{\rm phys}}は半正定値性をみたす．

零ノルムの部分空間 V_0 \equiv \{ |\chi\rangle | |chi\rangle \in V_{{\rm phys}},\langle \chi | \chi \rangle = 0 \}を定義する．
S V_{{\rm phys}} = S^\dagger V_{{\rm phys}} = V_{{\rm phys}}から，V_{{\rm phys}}だから，S V_0 = S^\dagger V_0 = V_0が分かり，V_0もSの作用で不変．
よって，零ノルム部分を潰したH_{{\rm phys}} \equiv V_{{\rm phys}} / V_0の上でS行列S_{{\rm phys}}が矛盾無く定義でき，さらにユニタリであることが分かる．