一般相対論復習

ベクトル $A_\mu$ を平行移動させると，成分が $dA_\mu = A_\nu \Gamma^\nu_{\mu\lambda}dx^\lambda$ だけ変化するとする．
テンソル場の微分 $A_{\mu,\nu}$ はテンソルとして振舞わない．テンソルとして振舞う共変微分は $A_{\mu;\nu}=A_{\mu,\nu}+A_\lambda \Gamma^\lambda_{\mu\nu}$ と定義される．
$A_\mu B^\mu$ を平行移動させた場合の変分は， $A_\nu B^\mu \Gamma^\nu_{\mu\lambda}dx^\lambda + A_\nu dB^\nu = 0$ ．これより， $dB^\mu = -B^\nu \Gamma^\mu_{\nu\lambda}dx^\lambda$ だから， $B^\mu_{;\nu} = B^\mu_{,\nu} - B^\lambda \Gamma^\mu_{\lambda\nu}$

平行移動しても， $g_{\mu\nu}A^\mu B\nu$ は変化しないので，
$g_{\mu\nu,\epsilon}A^\mu B^\nu dx^\epsilon - g_{\mu\nu}A^\lambda B^\nu \Gamma^\mu_{\lambda\epsilon} dx^\epsilon - g_{\mu\nu}A^\mu B^\lambda \Gamma^\nu_{\lambda\epsilon} dx^\epsilon = 0$ より， $g_{\mu\nu,\epsilon} = \Gamma_{\mu\nu\epsilon} + \Gamma_{\nu\mu\epsilon}$
$\Gamma_{\mu\nu\lambda}=\Gamma_{\mu\lambda\nu}$ （局所慣性系がとれるということ）を用いると， $\Gamma_{\mu\nu\lambda} = (g_{\mu\nu,\lambda} + g_{\mu\lambda,\nu} - g_{\nu\lambda,\mu})/2$

ベクトル $A_\mu$ を $dx$ ， $dy$ と2段階で平行移動させることを考える．
まず， $dx$ だけ動かすと， $A_\mu + \Gamma^\nu_{\mu\lambda} A_\nu dx^\lambda$ に変化する．
次に， $dy$ だけ動かすと， $A_\mu + \Gamma^\nu_{\mu\lambda} A_\nu dx^\lambda + (\Gamma^\alpha_{\mu\lambda} + \Gamma^\alpha_{\mu\lambda,\sigma}dx^\sigma )(A_\alpha + \Gamma^\nu_{\alpha\beta} A_\nu dx^\beta) dy^\lambda$
これを整理すると， $A_\mu + \Gamma^\nu_{\mu\lambda} A_\nu (dx+dy)^\lambda + (\Gamma^\nu_{\mu\beta,\alpha} + \Gamma^\lambda_{\mu\beta} \Gamma^\nu_{\lambda\alpha}) A_\nu dx^\alpha dy^\beta + o(dx^3)$
dx,dyの順で動かしたものと，dy,dxの順で動かしたものの差をとると，
$(\Gamma^\nu_{\mu\beta,\alpha} - \Gamma^\nu_{\mu\alpha,\beta} + \Gamma^\lambda_{\mu\beta} \Gamma^\nu_{\lambda\alpha} - \Gamma^\lambda_{\mu\alpha} \Gamma^\nu_{\lambda\beta}) A_\nu dx^\alpha dy^\beta$ とあらわせる．同じ点でのテンソルの差をとったので，これは当然テンソルとして振舞う．
よって係数部分のテンソルを，リーマンテンソル $R^\nu_{\mu\alpha\beta}= \Gamma^\nu_{\mu\beta,\alpha} - \Gamma^\nu_{\mu\alpha,\beta} + \Gamma^\lambda_{\mu\beta} \Gamma^\nu_{\lambda\alpha} - \Gamma^\lambda_{\mu\alpha} \Gamma^\nu_{\lambda\beta}$ として定義できる．

…だめだ，もう寝る．