宇宙物理学のレポートをやりながら

勉強

レポートやりながら思い出したこと．


宇宙は高温の状態からスタートし，徐々に冷えてきた．
最初は全ての粒子が高速で飛び交っていたのだが，冷えるに従い様々な過程を経て現在の姿に近づいていく．
その過程のひとつに，電子と陽子が飛び交っていたのが，結合して水素原子になるという過程がある．
水素原子のイオン化エネルギーは13.6eVである．1eV=11600Kという換算公式を知っている物理学科の学生なら，この頃の宇宙の温度は10数万Kと推定したくなるのだが，実際は3000K程度だ．

質量m，温度Tの非相対論的気体の化学ポテンシャルは\mu = kT\log(n \frac{h^3}{(2\pi mkT)^{3/2}})という式で与えられる．これはグランドカノニカル分布を用いて計算する．
p^+ + e^- \leftrightarrow H + E_I (E_I=13.6eV)という反応が平衡状態にあるための条件は，
\mu_p + \mu_e = \mu_H - E_Iであるから，
n_p n_e \frac{h^3}{ (2\pi m_ekT)^{3/2} } = n_H e^{-E_I/kT}

n=n_p+n_Hとおく．電離率をx=n_p/nで定義すると，
\frac{x^2}{1-x} = \frac{1}{n}\frac{ (2\pi m_ekT)^{3/2} }{h^3} e^{-E_I/kT}

これはいわゆる，sahaの電離平衡の式．指数関数の前の因子が効いて来るので，単純な次元解析ではじき出される答えとは異なってくる．