加群，環 - 備忘録

加群は結構面白いかもしれない．加群というだけではただの可換群だから面白くないが，環とか体とかと絡むと豊かな内容を持つようである．

0と異なる零因子を持たない可換環を整域とよぶ．
整域 $R$ の0でない元 $a$ について負でない整数 $|a|$ を対応させる． $a\neq 0$ なら任意の元 $b$ について， $b=qa+r$ と書く時， $r\neq 0$ なら $|r|<|a|$ とできるとしよう．この時， $R$ をユークリッド整域とよぶ．

$R$ 上の加群 $M$ が $M=Ru_1 + \cdots + Ru_n$ と書ける時， $M$ は有限生成であるという．
この時，任意の $R$ の元は $a_1u_1 + \cdots + a_nu_n$ という形で書けるので， $\phi(a_1,\cdot,a_n) = a_1u_1 + \cdots + a_nu_n$ という写像を考えると，これは，全射で
$R$ 準同型．
準同型定理から， $M$ と[R/Ker\phi]は同型となる．こうなると， $Ker\phi$ がどうなっているのか気になる．
$Ker\phi$ もまた有限生成であり，同様に考える事で $\psi$ : $R^m\rightarrow Ker\phi$ という写像を作る事ができる．この時， $Im\psi=Ker\phi$ ． $Im\psi$ を考えればよいので，少し気が楽になる．
$\psi$ を適当な基底を使って行列表示すると，対角成分が単因子 $d_1,\cdots ,d_r$ となるような形にできる．こうすれば， $Im\psi = Rd_1\oplus\cdots\oplus Rd_r$ であることが分かる．

結局 $M$ は， $R/Rd_1\oplus \cdots \oplus R/Rd_r \oplus R^{n-r}$ であることが分かる．

急速に場の量子論から興味が遠ざかりつつあるなあ…．