ワイルのゲージ場

ゲージ変換というのは，もともと時空の各点でメトリックを $g_{\mu\nu} \to e^{\lambda(x)}g_{\mu\nu}$ と変換することを指していた．まさに，時空の各点でモノサシを取り替えることを指している．

ある点で，棒の長さが $l(x)$ であったとする．これを微小距離 $dx$ だけ移動させて，移動先で棒の長さをはかると， $l(x+dx) = (1+ \frac{\partial \lambda}{\partial x^\mu} dx^\mu ) l(x)$ になる．これを一般化して，空間に場 $A_\mu(x)$ が張り付いていて，微小距離移動させた場合の棒の長さが， $l(x+dx) = (1 - A_\mu(x) dx^\mu ) l(x)$ になると定義する．この場 $A_\mu$ をゲージ場と呼ぶ．これで，一般相対論と同じような考察をすると電磁場の方程式が出てきたりするみたい．