一般相対論復習

勉強

共変微分は，
\nabla_\alpha A^\mu = \partial_\alpha A^\mu + \Gamma^\mu_{\nu\alpha} A^\nu
\nabla_\alpha A_\nu = \partial_\alpha A_\nu - \Gamma^\mu_{\nu\alpha} A_\mu
と定義されている．クリストッフェル記号は左側の上下二つの添え字と右下の添え字を分けて見ると，ゲージ場のように見えてくるので分かりやすい．

また，クリストッフェル記号は計量を用いて，
\Gamma^\mu_{\nu\alpha} = \frac{ g^{\mu\lambda} }{2} (\partial_\nu g_{\lambda\alpha} + \partial_\alpha g_{\lambda\nu} - \partial_\lambda g_{\nu\alpha})
と書くことができる．

リーマンの曲率テンソルは，
R^\mu_{\nu\alpha\beta} = \partial_\alpha \Gamma^\mu_{\nu\beta} + \Gamma^\mu_{\lambda\alpha} \Gamma^\lambda_{\nu\beta} - (\mu \leftright \nu)



メトリックの変分をとると，
\Gamma^\mu_{\nu\alpha} = \frac{ g^{\mu\lambda} }{2} (\nabla_\nu \delta g_{\lambda\alpha} + \nabla_\alpha \delta g_{\lambda\nu} - \nabla_\lambda \delta g_{\nu\alpha})
\delta R^\mu_{\nu\alpha\beta} = \nabla_\alpha \delta \Gamma^\mu_{\nu\beta} + \delta \Gamma^\mu_{\lambda\alpha} \delta \Gamma^\lambda_{\nu\beta} - (\mu \leftright \nu)

変分の一次の項のみを残すと，
\delta R_{\mu\nu} = \nabla_\lambda \delta \Gamma^\lambda_{\mu\nu} - \nabla_\nu \delta \Gamma^\lambda_{\mu\lambda}

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勉強

ZやWのレプトンへの崩壊幅を計算する．

Zとレプトンの相互作用項は，\frac{ie}{\sin\theta_w \cos\theta_w}(T_3 - Q\sin^2\theta_w) Z_\mu \bar{l} \gamma^\mu lとなる．

レプトンの4元運動量を$p_1,p_2$として，Zボゾンの運動量を$k$とおくと，スピンの平均をとった散乱振幅は，
|{\cal M}|^2 = \frac{e^2}{s^2 c^2}(T_3 - Qs^2)^2 tr\{ \frac{1}{2} p_{1\alpha} p_{2\beta} \gamma^\alpha \gamma^\mu \gamma^\beta \gamma^\nu \} \frac{1}{3}(\frac{k_\mu k_\nu}{m_Z^2} - g{\mu\nu})
= \frac{2e^2}{s^2 c^2} (T_3 - Qs^2)^2) m_Z^2
ただし，ボゾンの静止系をとった．

これを用いて，Zボゾンの崩壊幅は \Gamma = \frac{1}{2m_Z} \frac{1}{8\pi} \frac{2e^2}{s^2 c^2} (T_3 - Qs^2)^2) m_Z^2 = \frac{e^2}{24\pi s^2 c^2} (T_3 - Qs^2)^2) m_Z
また，\frac{e}{sc}(T_3 - Qs^2)を\frac{g}{\sqrt{2}}に，m_Zをm_Wにおきかえると，Wボゾンの崩壊幅も得られる．
まとめると，
\Gamma(Z\to e_L^- e_R^+) = \frac{e^2}{96\pi s^2 c^2}(2s^2 - 1)^2m_Z
\Gamma(Z\to e_L^- e_R^+) = \frac{e^2}{96\pi s^2 c^2}(2s^2)^2 m_Z
\Gamma(W^+ \to e_R^+ \nu) = \frac{g^2}{48\pi} m_W

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日々

吉祥寺の一圓に久しぶりに行ってきた．2年ぶりくらいか．
餃子ライスが550円から600円に値上がりしている．物価高騰のあおりを受けたのか，と思うと少し切ない．
味は変わっていなかった．


それよりもOPEが意味不明過ぎて困ったぞ．

QCD第2回

ゼミ

場の量子論は，素粒子物理学を始めとする現代物理学の基本的なツールであるが，
物理的に意味のある量を計算しようとすると，至るところに無限大があらわれてしまうという原罪を背負っている．
意味のある量を計算するためには，かなり無茶苦茶な方法を使う事になる．（よく言われる，無限大から無限大を引く，というような操作を行う．）
しかし，このようなめちゃくちゃにも思える計算で導いた結果はかなりの精度で自然現象を記述してくれる．
きっと，人間はこの辺りのことをまだよく理解していないのだろう．それは数学に期待されることなのか，物理に期待されることなのか．


今日のゼミで，「次元正則化」って結構気色悪いことやってるよね，という意識を教授陣も含めて持っているということを知れて，なんとなく安心感を覚えた．

weinberg-salam

勉強

SU(2)\timesU(1)ゲージ理論の共変微分は，
D_\mu \equiv \partial_\mu - igW_\mu^a T^a - ig'B_\mu Yと書かれる．
Higgs2重項(Y=1/2)の真空期待値を \frac{1}{ \sqrt{2} } \left(\begin{array}{c}0 \\ v \\ \end{array}\right)と書くと，
ゲージボゾンの質量項はHiggsの運動項から生まれる．その部分を抽出すると，
\frac{1}{2} \left(\begin{array}{cc}0&v \\ \end{array}\right) (\frac{g}{2}W_\mu^a \sigma^a + \frac{g'}{2} B_\mu)^2 \left(\begin{array}{c}0 \\ v \\ \end{array}\right)
= \frac{1}{8} \left(\begin{array}{cc}0&v \\ \end{array}\right) (g^2 W_\mu^a W^{a\mu} + 2gg'W_\mu^a B^\mu \sigma^a + g'^2 B_\mu B^\mu) \left(\begin{array}{c}0 \\ v \\ \end{array}\right)
= \frac{v^2}{8}(g^2 W_\mu^a W^{a\mu} - 2gg'W_\mu^3 B^\mu + g'^2 B_\mu B^\mu)
= \frac{1}{2} \frac{g^2v^2}{4} ((W^1)^2 + (W^2)^2 ) + \frac{1}{2} \frac{(g^2+g'^2)v^2}{4}( \frac{ gW^3 - g'B }{ \sqrt{g^2+g'^2} } )^2


場を再定義しよう．
\cos\theta_w \equiv \frac{g}{\sqrt{g^2+g'^2} }，\sin\theta_w \equiv \frac{g'}{\sqrt{g^2+g'^2} }ととり，
\left(\begin{array}{c} Z \\ A \\ \end{array}\right) \equiv \left(\begin{array}{cc} \cos && -\sin \\ \sin && \cos \end{array} \right) \left(\begin{array}{c} W^3 \\ B \\ \end{array}\right) を定義する．逆に解くと， \left(\begin{array}{c} W^3 \\ B \\ \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} \cos && \sin \\ -\sin && \cos \end{array} \right) \left(\begin{array}{c} Z \\ A \\ \end{array}\right)

質量をm_W^2 \equiv \frac{g^2v^2}{4}, m_Z^2 \equiv \frac{(g^2+g'^2)v^2}{4}で定義できる．質量項は，\frac{m_W^2}{2}((W^1)^2+(W^2)^2) + \frac{m_Z^2}{2}Z^2と書けるようになる．




共変微分は，\partial_\mu - igW_\mu^a T^a - ig'B_\mu
= \partial_\mu - ig(W_\mu^1 T_1 + W_\mu^2 T_2) - ig (Z\cos + A\sin)T_3 -ig'(-Z\sin + A\cos)Y
= \partial_\mu - ig(W_\mu^1 T_1 + W_\mu^2 T_2) - i (gT_3\cos - g'Y\sin)Z_\mu - i(gT_3\sin + g'Y \cos)A_\mu

e\equiv g\sin\theta_W = g'\cos\theta_Wと定義すると，A_\muとの結合定数は，e(T_3+Y)となる．これはいわゆる電磁気学の電荷．

gT_3\cos - g'Y\sin = \frac{e}{\sin}T_3\cos - \frac{e}{\cos} Y \sin = \frac{e}{\sin\cos}(T_3 - Q\sin^2)これがZボゾンとの結合定数となる．